Existe uma ideia matemática que atravessa a astronomia antiga, a física do calor, o MP3 do celular e as imagens que você vê na tela. Ela diz que quase qualquer forma repetitiva, por mais irregular, pode ser montada somando ondas simples. Uma animação do perfil de divulgação matemática @matharium, no X, mostra isso de um jeito difícil de esquecer: círculos girando uns sobre os outros desenham, aos poucos, uma figura cheia de cantos retos.

Animação do @matharium, usada aqui como ilustração: dois conjuntos de círculos comandam um ponto que traça uma curva de Hilbert, enquanto um contador mostra o erro da aproximação diminuir. Crédito: @matharium, no X.

Um círculo é uma onda

O ponto de partida é simples. Quando um ponto percorre um círculo com velocidade constante, sua sombra no eixo horizontal sobe e desce como um cosseno, e a sombra no eixo vertical oscila como um seno. Seno e cosseno são as ondas mais básicas que existem: têm uma frequência (quantas voltas por segundo) e uma amplitude (o tamanho da oscilação, que corresponde ao raio do círculo).

Agora imagine pendurar um segundo círculo na ponta do raio do primeiro, girando mais depressa, e depois um terceiro na ponta do segundo. O ponto na ponta do último soma o movimento de todos. É exatamente o que a animação mostra: o contador N indica quantos círculos entram na conta. Com um só, o desenho é um arco tosco. Com 31, a forma já se reconhece, com erro de cerca de 7%, segundo o vídeo. Com 255, o erro cai abaixo de 0,5% e a aproximação fica difícil de distinguir do alvo a olho nu.

De Ptolomeu a Fourier

A ideia de compor círculos é antiga. Na astronomia grega, o modelo de Cláudio Ptolomeu, do século 2, explicava os movimentos aparentes dos planetas com epiciclos: um planeta girava num pequeno círculo cujo centro girava num círculo maior. Com círculos suficientes, o modelo reproduzia as posições observadas com boa precisão, embora a Terra nem sequer estivesse no lugar certo.

A formulação moderna veio do matemático francês Joseph Fourier. Em 1807, ele apresentou à Academia de Ciências de Paris um estudo sobre como o calor se propaga em corpos sólidos e propôs que qualquer distribuição de temperatura podia ser escrita como uma soma de senos e cossenos. A tese gerou resistência entre matemáticos da época, que duvidavam de que funcionasse para formas tão gerais, e o trabalho só foi publicado por inteiro em 1822, no livro Teoria analítica do calor. Rigor matemático completo sobre quando a soma de fato converge levou mais algumas décadas e rendeu um ramo inteiro da análise.

Hoje se sabe que a comparação com os epiciclos não é só poética. Escrita com números complexos, uma série de Fourier é literalmente uma soma de círculos girando, cada um com raio e velocidade próprios. Por isso a técnica é a base de animações como a do vídeo, que desenham contornos arbitrários com uma pilha de círculos.

Cada círculo é um ingrediente

Um jeito útil de pensar: uma série de Fourier é uma receita. Os círculos grandes e lentos definem o formato geral da figura. Os pequenos e rápidos cuidam dos detalhes, como cantos e reentrâncias. Por isso, quanto mais pontiaguda ou angulosa a forma, mais círculos pequenos são necessários, e a convergência é mais lenta.

O mesmo vale para o som. Uma nota de violino e uma de flauta no mesmo tom diferem pelas proporções entre as ondas componentes, o chamado timbre. Decompor um som em suas frequências, e depois guardar só as mais importantes, é a ideia por trás de formatos de compressão de áudio como o MP3 (que usa uma variante da técnica). Algo parecido acontece com imagens: o JPEG se baseia numa transformada da mesma família, que descarta variações finas que o olho quase não percebe.

Esse uso em larga escala só se tornou prático com a transformada rápida de Fourier (FFT), algoritmo popularizado por James Cooley e John Tukey em 1965, que reduziu drasticamente o número de contas. Hoje ela roda em celulares, equipamentos médicos como ressonância magnética, radares e estações de análise de terremotos.

O desafio de uma curva cheia de cantos

O vídeo escolhe como alvo uma figura especialmente difícil: a curva de Hilbert, descrita pelo alemão David Hilbert em 1891. Ela é uma das chamadas curvas que preenchem o espaço, inauguradas um ano antes pelo italiano Giuseppe Peano. O procedimento é repetir um mesmo passo de dividir o quadrado em quatro partes e ligar tudo com um único traço contínuo. A cada etapa, a linha passa mais perto de todos os pontos. No limite, uma única linha, sem interrupção, cobre o quadrado inteiro.

Para os matemáticos do fim do século 19, isso foi um choque. Parecia absurdo que algo de dimensão 1, uma linha, pudesse ocupar uma superfície de dimensão 2. O resultado forçou uma revisão do que se entendia por "curva" e por "dimensão", e hoje a curva de Hilbert também tem uso prático em computação: ela serve para ordenar dados bidimensionais numa fila única mantendo juntos os pontos que estão próximos no plano, o que ajuda em bancos de dados e em processamento de imagens.

Como a curva de Hilbert limite é contínua, é possível escrever x(t) e y(t) como somas de senos e cossenos, que são as fórmulas que fecham a animação. No vídeo, a soma usa só frequências ímpares (k = 1, 3, 5, 7...), um detalhe que decorre da simetria da figura. O desenho mostrado é uma etapa finita desse processo, e a mensagem é a mesma de toda a teoria: mesmo um traçado angular e cheio de saltos de direção pode ser aproximado com a precisão que se queira, bastando acrescentar círculos.

O que essa história ensina

A série de Fourier mostra que complexidade e simplicidade não são opostos: formas muito ricas podem ser decompostas em partes elementares, e é por isso que o mesmo raciocínio serve para calor, som, imagem e movimento planetário. Também lembra que "aproximar" é uma ideia respeitável em matemática: nenhum computador soma infinitos círculos, mas com algumas centenas o resultado já é, para qualquer fim prático, indistinguível do original.

Nota: o vídeo do @matharium não detalha como o "erro" mostrado na tela é calculado, e os percentuais citados acima são os que aparecem na animação.